„Verändern“ der Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe

Zur Abwechselung kommt heute mal etwas Mathe auf meinen Blog ;).
Mein Professor für Mathematik machte mich auf die alternierende harmonische Reihe aufmerksam und ihre veränderbare Konvergenz durch Umstellen der einzelnen Reihenglieder. Da dies sehr schwer für mich vorzustellen war, schaute ich mir das Thema etwas genauer an.
Eine alternierende Reihe ist eine Reihe, bei der das Vorzeichen der Reihenglieder immer wechselt.

altreih.png

Das diese Reihe konvergiert kann man durch das Leibniz-Kriterium nachweisen, was hier aber nicht weiter besprochen wird.
Viel Interessanter im Bezug auf diese Reihe ist der Riemannsche Umordnungssatz. Dieser Satz besagt, dass jede reelle, bedingt konvergente Reihe durch Umstellen der einzelnen Reihenglieder jede reelle Summe annehmen kann, oder sogar divergiert.
Eine Reihe ist dabei bedingt konvergent, wenn sie selbst konvergent ist, aber die Reihe über ihren Betrag nicht konvergiert.

betrreih.png

Da es sich bei der Reihe, die durch den Betrag gebildet wird um die harmonische Reihe handelt, welche divergiert (also nicht konvergent ist), ist klar, dass die ursprüngliche Reihe bedingt konvergent ist und wir daher den Riemannschen Satz anwenden können.

Da ich Informatik und nicht Mathematik studiere habe ich mich eher weniger für den Beweis interessiert, als das ich versucht habe, die Reihe soweit es geht gegen eine Zahl konvergieren zu lassen.
Dazu habe ich ein kleines Script in Python geschrieben, mit dem ich die Reihe gegen Pi(3,141592653) konvergieren lasse. Die Theorie dahinter ist ziemlich einfach. Zuerst habe ich die Reihe in zwei Reihen aufgeteilt

posreih.png

Das Bild oben zeigt die Reihe der positiven Zahlen, wobei wir aber noch das ersten Reihenglied (1/1) addieren müssen, da dieses in unserer Reihenformel nicht enthalten ist. Die zweite Reihe erzeugt die negativen Zahlen.

negreih.png

Nun lasse ich in dem Script die Reihe, die die positiven Zahlen erzeugt solange aufaddieren, bis wir das erste mal unser Pi überschreiten. Danach wird dann solange die Reihe der negativen Zahlen durchlaufen, bis wir wieder unter Pi fallen. Dieses Spiel führt das Script dann beliebig oft durch. Das Script lief vom 22.08.2013 19:03:26 – 25.08.2013 17:33:40 und hat insgesamt 1.897.736.306 Brüche addiert und 14.175.655 Brüche subtrahiert. An dieser Stelle herzlichen dank an Alex (www.netz-mafia.de), der mir die ~3 Tage eine VM zum Rechnen zur Verfügung gestellt hat.
Das erste mal haben wir unser Pi nach der Addition der ersten 76 Brüche überschritten.

reihbis76.png

Wir bilden in diesem Fall die Summe nur bis 75, da wir das erste Reihenglied “manuell” zu der Summe addieren, wie oben beschrieben. Wie man eindeutig sieht, wird Pi nach Addition der ersten 76 Reihengliedern überschritten. Dies können wir auch durch den Bruch, der am Ende der ersten Zeile in dem Logfile steht zeigen.
„2.896829885360747787975991800*10^28/9204685605100357382635443761 = 3.147125289“ Dies ist gerundet das gleiche Ergebnis, welches wir auch durch die Summe raus gekommen haben.

reihbis75.png

Nach Addition der ersten 75 Reihengliedern sind wir noch “deutlich” unter Pi.

Viel interessanter sind jedoch die Ergebnisse, bei denen weitaus mehr Additionen durchgeführt wurden. Diese zeigen sehr deutlich, dass die Reihe wirklich gegen unsere Pi konvergiert.
So überschreiten wir Pi beispielsweise in Zeile 300 noch an der 6. Nachkommastelle (3.141594…). Hingegen in Zeile 10.004 im Logfile überschreiten wir Pi erst an der 10. Stelle, welche wir gar nicht mehr definiert haben, wodurch sie gleichwertig einer 0 ist (3.14159265314…). Dieses Verhalten lässt sich bis zum Ende weiter beobachten, wobei die Differenz zu unserem Pi immer kleiner wird. In der letzten Zeile ist die 10. Stelle schon zu einer 0 bei der Überschreitung geworden und daher kommt es erst an der 11. Stelle zu einer Abweichung.

Außerdem sehr interessant finde ich, dass es so scheint, als wenn die Anzahl der Additionen, bevor eine Zahl subtrahiert wird weitgehend konstant sind.
Dies ist ein Ergebnis, mit dem ich, bevor ich den Logfile gesehen habe, nicht gerechnet hätte. Eigentlich hätte ich gedacht, dass die Spanne zwischen den Additionen immer größer wird.
Um das Verhalten etwas genauer zu betrachten, habe ich das Script etwas umgeschrieben und anstatt des aktuellen Bruchs, wird nun die Differenz zwischen der Anzahl der durchgeführten Additionen ausgegeben. Dieses Script habe ich für die ersten 500 Ausgaben laufen lassen. In dem Logfile sieht man, dass die Anzahl der durchgeführten Additionen (Abgesehen von den ersten beiden Zeilen) bis auf wenige Ausnahmen immer 134 ist. Dieses Schema zeichnet sich auch bei allen anderen Zahlen, gegen die ich die Reihe konvergiert lassen habe ab.
Ich habe mit einigen Versuchen nach einer Zahl gesucht, bei der die Anzahl der Additionen wirklich konstant ist. Jedoch habe ich leider keine gefunden. Unser Pi scheint noch ein wenig zu klein zu sein, da ab und zu „nur“ 133 Additionen durchgeführt werden müssen, bevor der Bruch wieder über unser Pi kommt.
Des weiteren hatte ich versucht mit diversen Regressionen eine Formel zu finden, mit der ich grob berechnen kann, wie sich die Anzahl der Additionen für ein beliebiges x entwickeln. Leider kam ich da mit meinem Wissen auch nicht weiter und habe es letztendlich aufgegeben.

Wenn ich in meiner nächsten Praxisphase etwas Zeit finde, werde ich mich definitiv weiter mit dem Problem beschäftigen. Da ich momentan jedoch wenig Zeit habe, war es das erst einmal zu dem Thema von mir ;)


Quellen:
Carsten Elser (http://www.carstenelsner.de)
http://math-www.upb.de/agpb/mif05/kapitel5.pdf
http://de.wikipedia.org/wiki/Alternierende_Reihe
http://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a1/0607/vorl07_ana.pdf