„Verändern“ der Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe

Zur Abwechselung kommt heute mal etwas Mathe auf meinen Blog ;).
Mein Professor für Mathematik machte mich auf die alternierende harmonische Reihe aufmerksam und ihre veränderbare Konvergenz durch Umstellen der einzelnen Reihenglieder. Da dies sehr schwer für mich vorzustellen war, schaute ich mir das Thema etwas genauer an.
Eine alternierende Reihe ist eine Reihe, bei der das Vorzeichen der Reihenglieder immer wechselt.

altreih.png

Das diese Reihe konvergiert kann man durch das Leibniz-Kriterium nachweisen, was hier aber nicht weiter besprochen wird.
Viel Interessanter im Bezug auf diese Reihe ist der Riemannsche Umordnungssatz. Dieser Satz besagt, dass jede reelle, bedingt konvergente Reihe durch Umstellen der einzelnen Reihenglieder jede reelle Summe annehmen kann, oder sogar divergiert.
Eine Reihe ist dabei bedingt konvergent, wenn sie selbst konvergent ist, aber die Reihe über ihren Betrag nicht konvergiert.

betrreih.png

Da es sich bei der Reihe, die durch den Betrag gebildet wird um die harmonische Reihe handelt, welche divergiert (also nicht konvergent ist), ist klar, dass die ursprüngliche Reihe bedingt konvergent ist und wir daher den Riemannschen Satz anwenden können.
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